已知函数f（x）=kxx2+3k（k>0）．（1）若f（x）>m的解集为{x|x<-3或x>-2}，求不等式5mx2+k2x+3>0的解集；（2）若存在x>3使得f（x）>1成立，求k的取值范围．

Question

已知函数f（x）=(kx)/(x2+3k)（k>0）．
（1）若f（x）>m的解集为{x|x<-3或x>-2}，求不等式5mx²+(k)/(2)x+3>0的解集；
（2）若存在x>3使得f（x）>1成立，求k的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=(kx)/(x2+3k)（k>0），f（x）>m的解集为{x|x<-3或x>-2}，
∴f（-3）=m，f（-2）=m，即 (-3k)/(9+3k)=m，且 (-2k)/(4+3k)=m，求得k=2，m=-(2)/(5)，
故不等式5mx²+(k)/(2)x+3>0，即 不等式-2x²+x+3>0，即 2x²-x-3<0，求得-1<x<(3)/(2)，
故不等式的解集为{x|-1<x<(3)/(2) }．
（2）∵存在x>3使得f（x）>1成立，∴(kx)/(x2+3k)>1在（3，+∞）上有解，
即x²-kx+3k<0在（3，+∞）上有解，k>(x2)/(x-3)在（3，+∞）上能成立，
故k大于g（x）=(x2)/(x-3)的最小值．
∵g′（x）=(x(x-6))/((x-3)2)，∴在（3，6）上，g′（x）<0，g（x）为减函数；
在（6，+∞）上，g′（x）>0，g（x）为增函数，故g（x）的最小值为g（6）=12，∴k>12．