设a∈R，函数f（x）=lnx-ax（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）若a＜2e2，试判断函数f（x）在x∈（1，e2）的零点个数，并说明理由；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：

Question

设a∈R，函数f（x）=lnx-ax
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若a＜(2)/(e2)，试判断函数f（x）在x∈（1，e²）的零点个数，并说明理由；
（3）若f（x）有两个相异零点x₁，x₂，求证：x₁•x₂＞e²．

Answer 1

（1）当a=2时，f（x）=lnx-2x，
f′(x)＝(1)/(x)−2．
f（1）=-2，f′（1）=-1．
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y+2=-1×（x-1）．
即x+y+1=0；
（2）由f（x）=lnx-ax，
由f（x）=0，得a=(lnx)/(x)，
函数f（x）在x∈（1，e²）的零点个数等价于函数y=a的图象与函数y=(lnx)/(x)的图象的交点个数，
令g（x）=(lnx)/(x)，则g′（x）=(1−lnx)/(x2)，
由g'（x）=0，得x=e，
在区间（1，e）上，g'（x）＞0，则函数g（x）是增函数，
∴g（1）＜g（x）＜g（e），即0＜g（x）＜(1)/(e)；
在区间（e，e²）上，g'（x）＜0，则函数g（x）是减函数，
∴g（e²）＜g（x）＜g（e），即(2)/(e2)＜g（x）＜(1)/(e)．
∵a＜(2)/(e2)，∴当a≤0时，f（x）在x∈（1，e²）没有零点；
当0＜a＜(2)/(e2)时，函数f（x）有且只有一个零点．
（3）原不等式x₁•x₂＞e²⇔lnx₁+lnx₂＞2．
不妨设x₁＞x₂＞0，
∵f（x₁）=0，f（x₂）=0，
∴lnx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），
∴a（x₁+x₂）＞2⇔(lnx1−lnx2)/(x1−x2)＞(2)/(x1+x2)
⇔ln(x1)/(x2)＞(2(x1−x2))/(x1+x2)．                                                          
令(x1)/(x2)=t，则t＞1，
于是ln

作业帮用户 2017-09-24 举报

举报该用户的提问

举报类型（必填）

• 色情低俗

• 辱骂攻击

• 侮辱英烈

• 垃圾广告

• 不良流行文化

• 骗取采纳

• 其他

举报理由（必填）

0/100

提交

问题解析

先求导．
对第（1）问，将a的值代入，得切线的斜率，接着求切点，利用点斜式得切线方程；
对第（2）问，考虑方程f（x）=0，将参数a分离，将零点问题转化为两函数图象交点问题，再利用导数研究函数的单调性，从而由两函数图象的位置关系确定零点个数；
对第（3）问，根据已知，将求证式进行等价转换，最后通过构造函数，利用函数的单调性达到证明的目的．

名师点评

本题考点：

利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：

本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值，考查了分类讨论的数学转化思想方法，是压轴题．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议

x1