已知双曲线x22-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P（x1，y1），Q（x1，-y1）是双曲线上不同的两个动点．求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程．

Question

已知双曲线(x2)/(2)-y²=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，点P（x₁，y₁），Q（x₁，-y₁）是双曲线上不同的两个动点．求直线A₁P与A₂Q交点的轨迹E的方程．

Answer 1

由题设知|x₁|＞√(2)，A₁（-√(2)，0），A₂（√(2)，0），
∵直线A₁P的斜率为k₁=(y1)/(x1+√(2))，
∴直线A₁P的方程为y=(y1)/(x1+√(2))（x+√(2)），…①
同理可得直线A₂Q的方程为y=(−y1)/(x1−√(2))（x-

作业帮用户 2016-12-01 举报

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问题解析

由直线的斜率公式与直线的点斜式方程，求出直线A₁P、A₂Q方程分别为y=

(y1)/(x1+√(2))（x+√(2)）、y=(−y1)/(x1−√(2))（x-√(2)）．将两条直线方程的左右两边对应相乘，并利用点P（x₁，y₁）在双曲线(x2)/(2)-y²=1上对所得的式子化简，整理得(x2)/(2)+y²=1，即为轨迹E的方程，再对所求的轨迹加以检验即可得到答案．

名师点评

本题考点：

与直线有关的动点轨迹方程；双曲线的简单性质．

考点点评：

本题给出双曲线上两条动直线，求直线的交点轨迹方程．着重考查了双曲线的标准方程、直线的基本量与基本形式和动点轨迹的求法等知识，属于中档题．

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