已知x1^2+x2^2+…+xn^2=(x1+x2+…+xn)^2/n求证:x1=x2=…=xn

Question

已知x1^2+x2^2+…+xn^2=(x1+x2+…+xn)^2/n求证:x1=x2=…=xn

Answer 1

由柯西不等式,有：
（a1^2＋a2^2＋a3^2＋······＋an^2）（x1^2＋x2^2＋x3^2＋······＋xn^2）
≧（a1x1＋a2x2＋a3x3＋······＋anxn）^2.
令a1＝a2＝a3＝······＝an＝1,得：
n（x1^2＋x2^2＋x3^2＋······＋xn^2）≧（x1＋x2＋x3＋······＋xn）^2,
∴x1^2＋x2^2＋x3^2＋······＋xn^2≧（1/n）（x1＋x2＋x3＋······＋xn）^2.
很明显,当x1/a1＝x2/a2＝x3/a3＝······＝xn/an时取等号,∴x1＝x2＝x3＝······＝xn.
［下面证明柯西不等式及取等号的条件］
引入二次函数y＝（A1x＋B1）^2＋（A2x＋B2）^2＋（A3x＋B3）^2＋······＋（Anx＋Bn）^2.
显然有：y≧0.
又y＝（A1^2＋A2^2＋A3^2＋······＋An^2）x^2＋2（A1B1＋A2B2＋A3B3＋······＋AnBn）x
　　　＋（B1^2＋B2^2＋B3^2＋······＋Bn^2）.
∴函数的图象是一条开口向上的抛物线,
∴要确保y≧0,就需要方程
（A1^2＋A2^2＋A3^2＋······＋An^2）x^2＋2（A1B1＋A2B2＋A3B3＋······＋AnBn）x
＋（B1^2＋B2^2＋B3^2＋······＋Bn^2）＝0的判别式≦0,
∴［2（A1B1＋A2B2＋A3B3＋······＋AnBn）］^2
　－4（A1^2＋A2^2＋A3^2＋······＋An^2）（B1^2＋B2^2＋B3^2＋······＋Bn^2）≦0,
∴（A1^2＋A2^2＋A3^2＋······＋An^2）（B1^2＋B2^2＋B3^2＋······＋Bn^2）
　≧（A1B1＋A2B2＋A3B3＋······＋AnBn）^2.
自然,当取等号时,就意味着
（A1x＋B1）^2＋（A2x＋B2）^2＋（A3x＋B3）^2＋······＋（Anx＋Bn）^2＝0,
∴A1x＋B1＝A2x＋B2＝A3x＋B3＝······＝Anx＋Bn＝0,
∴x＝B1/A1＝B2/A2＝B3/A3＝······＝Bn/An,∴A1/B1＝A2/B1＝A3/B3＝······＝An/Bn.
∴当A1/B1＝A2/B1＝A3/B3＝······＝An/Bn时,
（A1^2＋A2^2＋A3^2＋······＋An^2）（B1^2＋B2^2＋B3^2＋······＋Bn^2）
　≧（A1B1＋A2B2＋A3B3＋······＋AnBn）^2取等号.