证明：1.若f（x）=a+b,则f(x1/2+x2/2)=f(x1)/2+f(x2)/2.2.若g（x）=x2+ax+b,则g（x1/2+x2/2)≤g（x1）/2+g（x2）/2第一个题目错了1.若f（x）=ax+b，则f(x1/2+x2/2)=f(x1)/2+f(x2)/22

Question

证明：
1.若f（x）=a+b,则f(x1/2+x2/2)=f(x1)/2+f(x2)/2.
2.若g（x）=x2+ax+b,则g（x1/2+x2/2)≤g（x1）/2+g（x2）/2
第一个题目错了1.若f（x）=ax+b，则f(x1/2+x2/2)=f(x1)/2+f(x2)/22

Answer 1

f((x1+x2)/2)=a[(x1+x2)/2]+b=ax1/2+ax2/2+b/2+b/2=(ax1+b)/2+(ax2+b)/2=f(x1)/2+f(x2)/2=(f(x1)+f(x2))/2
g((x1+x2)/2)=(x1+x2)^4/4+a(x1+x2)/2+b
(g(x1)+g(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2+a/2(x1+x2)+b
因为(x1-x2)^2≥0,所以x1^2+x2^2≥2x1x2,不等式两边同时加x1^2+x2^2得2(x1^2+x^2)≥(x1+x2)^2,不等式两边同除以4得(x1^2+x2^2)/2≥(x1+x2)^2/4
所以(x1^2+x2^2)/2+a/2(x1+x2)+b≥(x1+x2)^4/4+a(x1+x2)/2+b
即g((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2