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已知方程ax²＋bx＋c＝x﹙a＞0﹚的两个实数根x1,x2满足0＜x1＜x2＜1／a.当0＜x＜x1时,证明：x＜ax²＋bx＋c＜x1
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已知方程ax²＋bx＋c＝x﹙a＞0﹚的两个实数根x1,x2满足0＜x1＜x2＜1／a.当0＜x＜x1时,证明：x＜ax²＋bx＋c＜x1
▼优质解答
答案和解析
证明：设f(x)=ax²＋bx＋c-x﹙a＞0﹚
因为方程ax²＋bx＋c＝x﹙a＞0﹚的两个实数根x1,x2满足0＜x1＜x2＜1／a.
则f(x)在（0,(x1+x2)/2）内单减,
于是当0＜x＜x1时,f(x)>f(x1)=0,即ax²＋bx＋c-x>0,得到ax²＋bx＋c>x.①
另一方面,设f(x)=ax²＋bx＋c-x=a(x1-x)(x2-x)﹙a＞0﹚,
则由x1,x2满足0＜x1＜x2＜1／a及0＜x＜x1得
x1-x>0,0
因为方程ax²＋bx＋c＝x﹙a＞0﹚的两个实数根x1,x2满足0＜x1＜x2＜1／a.
则f(x)在（0,(x1+x2)/2）内单减,
于是当0＜x＜x1时,f(x)>f(x1)=0,即ax²＋bx＋c-x>0,得到ax²＋bx＋c>x.①
另一方面,设f(x)=ax²＋bx＋c-x=a(x1-x)(x2-x)﹙a＞0﹚,
则由x1,x2满足0＜x1＜x2＜1／a及0＜x＜x1得
x1-x>0,0
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