计算曲线的正向积分∮c(3z+2)/(z^4-1),c:|z-(1+i)|=√2.

Question

计算曲线的正向积分∮c(3z+2)/(z^4-1),c:|z-(1+i)|=√2.

Answer 1

被积函数的奇点为z=±1,z=±i,而这些奇点在圆周c:|z-(1+i)|=√2内部的只有z=1和z=i,因此可用留数定理计算积分,z=1处的留数Res[f(z),1]=lim(3z+2)/(z^2+1)(z+1)=5/4,z=i处的留数Res[f(z),i]=lim(3z+2)/(z^2-1)(z+i)=(3i+2)/(-4i)=(2i-3)/4,所以积分=2πi[5/4+(2i-3)/4]=π(i-1)