在曲面Z=(2+X^2+4Y^2)^1/2上求一点使它到平面X-2Y+3Z=1的距离最近

Question

在曲面Z=(2+X^2+4Y^2)^1/2上求一点使它到平面X-2Y+3Z=1的距离最近

Answer 1

先检验相不相交,如果相交就不用做了.这里懒得检验,直接假设它们不相交(*^__^*) 嘻嘻……
作曲面上每一点的切平面,容易证明,当某点切平面的法向量与平面X-2Y+3Z=1的法向量,也就是(1,-2,3)平行时,该点到平面的距离达到极值.
曲面的坐标方程为f(x,y)=(x,y,z)=(x,y,(2+x^2+4y^2)^1/2),故(f_x与f_y分别表示f对x、y求微分)
f_x=(1,0,x*(2+x^2+4y^2)^(-1/2)), f_y=(0,1,4y*(2+x^2+4y^2)^(-1/2))
而(x,y,z)处的法向量为(f_x)^(f_y)=(-x*(2+x^2+4y^2)^(-1/2),-4y*(2+x^2+4y^2)^(-1/2),1)=a
若a=k(1,-2,3),得x=-2y,y=1/(√14),
故要求的点为(-2/(√14),1/(√14),6/(√14)),且显然它是最近而非最远点
又易验证(-2/(√14),1/(√14),6/(√14))在X-2Y+3Z=1上方,故而曲面与X-2Y+3Z=1不相交