函数fn（x）=xn+bx+c（n∈Z，b，c∈R）．（1）若n=-1，函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，求实数b的取值范围；（2）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，|f2（x1）-f2（x2）|≤4恒成立，求b

Question

函数f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈Z，b，c∈R）．
（1）若n=-1，函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，求实数b的取值范围；
（2）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

（1）n=-1时，f(x)＝(1)/(x)+bx+c
任设x₁＞x₂≥2，f(x1)−f(x2)＝(1)/(x1)+bx1+c−((1)/(x2)+bx2+c)=((x1−x2)(bx1x2−1))/(x1x2)，
∵x₁＞x₂≥2，
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0，
因为函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，故恒有f（x₁）＞f（x₂），
从而恒有bx₁x₂-1＞0，即恒有b＞(1)/(x1x2)，
当x₁＞x₂≥2时，x₁x₂＞4，
∴(1)/(x1x2)＜(1)/(4)，
∴b≥(1)/(4)．
（2）当n=2时f2(x)＝x2+bx+c
对任意x₁，x₂∈[-1，1]有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4恒成立等价于f₂（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4，
当−(b)/(2)＜−1，即b＞2时，f₂（x）在x∈[-1，1]上单调递增，
∴f₂（x）_min=f₂（-1）=1-b+c，f₂（x）_max=f₂（1）=1+b+c，
∴M=2b＞4，与题设矛盾；
当−1≤−(b)/(2)≤0，即0≤b≤2时，f₂（x）在x∈[−1，−(b)/(2)]上单调递减，在x∈[−(b)/(2)，1]上单调递增，
∴f2(x)min＝f2(−(b)/(2))＝−(b2)/(4)+c，f₂（x）_max=f₂（1）=1+b+c，
∴M＝((b)/(2)+1)2≤4恒成立，
∴0≤b≤2；
当0＜−(b)/(2)≤1，即-2≤b＜0时，f₂（x）在x∈[−1，−(b)/(2)]上单调递减，在x∈[−(b)/(2)，1]上单调递增，
∴