在复平面内一动点M所对应的复数z，z≠1，且满足z-1z+1是纯虚数，又复数ω=4(1+z)2，它对应复平面上的动点P，在动点P（x，y）的集合中，是否存在关于直线y=x对称的两点，若存在，试求出这两

Question

在复平面内一动点M所对应的复数z，z≠1，且满足(z-1)/(z+1)是纯虚数，又复数ω=(4)/((1+z)2)，它对应复平面上的动点P，在动点P（x，y）的集合中，是否存在关于直线y=x对称的两点，若存在，试求出这两点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

∵(z-1)/(z+1)是纯虚数，
∴设(z-1)/(z+1)=ti，
则z-1=zti+ti，
z（1-ti）=1+ti
则z=(1+ti)/(1-ti)，
ω=(4)/((1+z)2)=(4)/((1+(1+ti)/(1-ti))2)=(4)/(((2)/(1-ti))2)=（1-ti）²=1-t²-2ti，
若ω对应点的坐标为（1-t²，-2t），
设x=1-t²，y=-2t，
消去参数t得x=1-(y2)/(4)，
即y²=4（1-x）．
若存在关于直线y=x对称的两点A（1-(y12)/(4)，y₁），B（1-(y22)/(4)，y₂），
则满足

(1)/(2)(1-(y12)/(4)+1-(y22)/(4))=(y1+y2)/(2)

(y2-y1)/((1-(y22)/(4))(1-(y12)/(4)))×1=-1

，
整理得2-(y12+y22)/(4)=y1+y2=4，即y₁²+y₂²=-8不成立，
即不�