已知x,y属于正实数,2x+8y-xy=0,求x+y的最小值?

Question

已知x,y属于正实数,2x+8y-xy=0,求x+y的最小值?

Answer 1

已知正数x、y满足2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.
可以设K=x+y,则得：y=K-x,代入已知得
2x+8(K-x)-x(K-x)=0
整理,得：
x²-(K+6)x+8K=0
由于存在正数x,使得上述方程成立,所以其判别式必定是非负数,即：
△=[-(K+6)]²-4×8K≥0
K²+12K+36-32k≥0
K²-20K+36≥0
(K-2)(K-18)≥0·············①
因x、y均为正数,所以再由2x+8y-xy=0得：2(x+y)=xy-6y=y(x-6)>0,即：x-6>0,得：x>6,所以K=x+y>6,K-2>0；
则不等式①解只能是：K≥18,所以x+y的最小值为18.
此时求得：x=12,y=6.
另一种利用均值不等式的方法,