（文科生做）已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，（1）求实数m的取值范围；（2）求以PQ为直径且过坐标原点的圆的方程．

Question

（文科生做）已知圆x²+y²+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，
（1）求实数m的取值范围；
（2）求以PQ为直径且过坐标原点的圆的方程．

Answer 1

（1）圆x²+y²+x-6y+m=0，可化为（x+(1)/(2)）²+（y-3）²=-m+(37)/(4)，
∴(|-(1)/(2)+6-3|)/(√(5))<√(-m+(37)/(4))，
∴-m+(37)/(4)>(5)/(4)，
∴m<8；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由题意得：OP、OQ所在直线互相垂直，则k_OP•k_OQ=-1，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
又因为x₁=3-2y₁，x₂=3-2y₂，
所以（3-2y₁）（3-2y₂）+y₁y₂=0，即5y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=0①，
将直线l的方程：x=3-2y代入圆的方程得：5y²-20y+12+m=0，
所以y₁+y₂=4，y₁y₂=(12+m)/(5)，
代入①式得：5×(12+m)/(5)-6×4+9=0，解得m=3，
故实数m的值为3．