点M(1,4)关于直线x-y+1=0对称的点的坐标?直线3x-5y+1=0关于直线y=x对称的直线方程

Question

点M(1,4)关于直线x-y+1=0对称的点的坐标?直线3x-5y+1=0关于直线y=x对称的直线方程

Answer 1

1.设对称点为N（x₁,y₁）,直线MN为y=kx+b,因为M、N关于x-y+1=0,即y=x+1对称,故直线MN的斜率k=-1,带M、N入y=kx+b,得k=（y₁-4）/(x₁-1)=-1,则y₁=-x₁+5,即MN直线为y=-x+5.
设MN中点P（x₂,y₂）,故有（x₁+1）/2=x₂,(y₁+4)/2=y₂,且P点在y=x+1上,
则有y₂=x₂+1,即(y₁+4)/2=（x₁+1）/2 +1,结合y₁=-x₁+5,得x₁=3,y₁=2；
综上,对称点N（3,2）.
2.设所求方程y=kx+b,直线3x-5y+1=0与y=x的交点为P(1/2,1/2),P点在所求方程上；
另在直线3x-5y+1=0上找一点M（3,2）,设M关于直线y=x的对称点N（x₁,y₁）,则直线MN的斜率k=（y₁-2）/（x₁-3）=-1,得x₁+y₁=5；MN的中点[(x₁+3)/2,(y₁+2)/2]在直线y=x上,故（x₁+3）/2=（y₁+2）/2,得x₁-y₁=-1；所以x₁=2,y₁=3；
把P（1/2,1/2）,N（2,3）带入y=kx+b,即可求得方程为3y=5x-1.