已知定义在(0,正无穷)上的函数f(x)满足:1、对任意的x、y属于(0,正无穷),都有f(xy)=f(x)+f(y);2、当x>1时f(x)>0,求证1、f(1)=02、对任意的x属于（0,正无穷）,都有f(1/x)=-f(x)3、f(x)在（0,正无穷）上是增函

Question

已知定义在(0,正无穷)上的函数f(x)满足:1、对任意的x、y属于(0,正无穷),都有f(xy)=f(x)+f(y);2、当x>1时
f(x)>0,求证
1、f(1)=0
2、对任意的x属于（0,正无穷）,都有f(1/x)=-f(x)
3、f(x)在（0,正无穷）上是增函数

Answer 1

1.
f(xy)=f(x)+f(y)取y = 1 ,x = 1
则有 f(1*1）=f(1)+f(1) 既2f（1）= f（1）
则f（1）= 0
2.
因为 x属于(0,正无穷),所以有 1 = 1/x * x
则 f(1)= f(1/x) + f(x) = 0
所以 f(1/x) = - f(x)
3.设a>1,x>1,f(a*x) = f(a)+f(x)
则有 f(a*x)-f(x) = f(a)
a*x > x,f(a) > 0
所以f(x)在（0,正无穷）上是增函数