已知函数f（x）=lnxx+ax+b的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线l：2x-4y+3=0平行．（Ⅰ）证明函数y=f（x）在区间（1，e）存在最大值；（Ⅱ）记函数g（x）=xf（x）+c，若g（x）≤0，对一切x∈

Question

已知函数f（x）=(lnx)/(x)+ax+b的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线l：2x-4y+3=0平行．
（Ⅰ）证明函数y=f（x）在区间（1，e）存在最大值；
（Ⅱ）记函数g（x）=xf（x）+c，若g（x）≤0，对一切x∈（0，+∞），b∈(0，(3)/(2))恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由f（x）=(lnx)/(x)+ax+b，得
f′(x)＝(1−lnx)/(x2)+a．
由函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线l平行，且l得斜率为(1)/(2)，
∴f′(1)＝(1)/(2)，即1+a=(1)/(2)，∴a=-(1)/(2)．
∴f′(x)＝(1−lnx)/(x2)−(1)/(2)＝(2−2lnx−x2)/(2x2)，
∵f′(1)＝(1)/(2)＞0，f′(e)＝−(1)/(2)＜0，
y=2-2lnx-x²在（1，e）上单调递减，
∴f′（x）在区间（1，e）存在一个零点，设为x₀，
则x₀∈（1，e），且f′（x₀）=0．
当x∈（1，x₀）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，x₀）上单调递增；
当x∈（x₀，e）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（x₀，e）上单调递减．
∴当x=x₀时，函数f（x）取得最大值．
故函数f（x）在区间（1，e）上存在最大值；
（Ⅱ）由g（x）=xf（x）+c=lnx−(1)/(2)x2+bx+c≤0恒成立，
∴c≤(1)/(2)x2−bx−lnx．
记h1(x)＝(1)/(2)x2−bx−lnx(x＞0)，则c=[h₁（x）]_min．
h1′(x)＝x−b−(1)/(x)，令h1′(x)＝0，得x²-bx-1=0．
∴x＝(−b±√(b2+4))/(2)．
∵b∈(0，(3)/(2))，x1＝

作业帮用户 2016-11-20 举报