已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的最小值为．

Question

已知x，y∈R，满足x²+2xy+4y²=6，则z=x²+4y²的最小值为___．

Answer 1

由题意x²+2xy+4y²=（x+2y）²-2xy=6，那么（x+2y）²=2xy+6，
∵（x+2y）²≥4x•2y=8xy，当且仅当x=2y时取等号．
则：2xy+6≥8xy
解得：xy≤1
z=x²+4y²=（x+2y）²-4xy≥8xy-4yx=4．
所以z=x²+4y²的最小值为4．
故答案为：4．