已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx，（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若函数h（x）=4f(x)+x2+m•2x-1，x∈[0，log23]最小值为0，求m的值；（3）若函数y=f（x）的图象与直线y=12x+a没有交点，求a

Question

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx，（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若函数h（x）=4 f(x)+(x)/(2)+m•2^x-1，x∈[0，log₂3]最小值为0，求m的值；
（3）若函数y=f（x）的图象与直线y=(1)/(2)x+a没有交点，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
∴f（-x）=f（x）
即log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx
即log₄（4^x+1）-（k+1）x=log₄（4^x+1）+kx
即2k+1=0
∴k=-(1)/(2)
（2）由题意函数h（x）=4^f（x）+x+m•2^x-1=4^x+m•2^x，x∈[0，log₂3]，
令t=2^x∈[1，3]，则y=t²+mt，t∈[1，3]，
∵函数y=t²+mt的图象开口向上，对称轴为直线t=-(m)/(2)故
当-(m)/(2)≤1，即m≥-2时，当t=1时，函数取最小值m+1=0，解得：m=-1，
当1<-(m)/(2)<3，即-6<m<-2时，当t=-(m)/(2)时，函数取最小值(m2)/(4)-=0，解得：m=0（舍去），
当-(m)/(2)≥3，即m≤-6时，当t=3时，函数取最小值9+3m=0，解得：m=-3（舍去），
综上所述，存在m=-1满足条件
（3）证明：由（1）得f（x）=log₄（4^x+1），函数y=f（x）的图象与直线y=(1)/(2)x+a没有交点
即方程log₄（4^x+1）-x=a无解，
令y=log₄（4^x+1）-x

log	(1+(1)/(4x)) 4

，
由于y=log₄（4^x+1）-x为减函数，且恒为正
故当a>0时，y=log₄（4^x+1）-x-b有唯一的角点，此时函数y=f（x）的图象与直线 当a≤0，y=log₄（4^x+1）-x-b没有零点，
此时，函数y=f（x）的图象与直线y=(1)/(2)x+a没有交点，a的取值范围为a≤0