已知函数：f（x）=x-（a+1）lnx-ax（a∈R），g（x）=12x2+ex-xex（1）当x∈[1，e]时，求f（x）的最小值；（2）当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[-2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，求a的

Question

已知函数：f（x）=x-（a+1）lnx-(a)/(x)（a∈R），g（x）=(1)/(2)x²+e^x-xe^x
（1）当x∈[1，e]时，求f（x）的最小值；
（2）当a＜1时，若存在x₁∈[e，e²]，使得对任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝((x−1)(x−a))/(x2)(a∈R)，
当a≤1时，x∈[1，e]，f′（x）≥0，f（x）为增函数，
所以f（x）_min=f（1）=1-a；
当1＜a＜e时，x∈[1，a]，f′（x）≤0，f（x）为减函数，x∈[a，e]，f′（x）≥0，f（x）为增函数，
所以f（x）_min=f（a）=a-（a+1）lna-1；
当a≥e时，x∈[1，e]，f′（x）≤0，f（x）为减函数，
所以f(x)min＝f(e)＝e−(a+1)−(a)/(e)；
综上，当a≤1时，f（x）_min=1-a；当1＜a＜e时，f（x）_min=a-（a+1）lna-1；当a≥e时，f(x)min＝e−(a+1)−(a)/(e)；
（2）存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，即 f（x）_min＜g（x）_min，
当a＜1时，由（1）可知，x∈[e，e²]，f（x）为增函数，
∴f(x1)min＝f(e)＝e−(a+1)−(a)/(e)，
g′（x）=x+e^x-xe^x-e^x=x（1-e^x），
当x∈[-2，0]时g′（x）≤0，g（x）为减函数，g（x）_min=g（0）=1，
∴e−(a+1)−(a)/(e)＜1，a＞(e2−2e)/(e+1)，
∴a∈((e2−2e)/(e+1)，1)．