早教吧作业答案频道 -->其他-->
已知函数:f(x)=x-(a+1)lnx-ax(a∈R),g(x)=12x2+ex-xex(1)当x∈[1,e]时,求f(x)的最小值;(2)当a<1时,若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求a的
题目详情
已知函数:f(x)=x-(a+1)lnx-
(a∈R),g(x)=
x2+ex-xex
(1)当x∈[1,e]时,求f(x)的最小值;
(2)当a<1时,若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求a的取值范围.
a |
x |
1 |
2 |
(1)当x∈[1,e]时,求f(x)的最小值;
(2)当a<1时,若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
(a∈R),
当a≤1时,x∈[1,e],f′(x)≥0,f(x)为增函数,
所以f(x)min=f(1)=1-a;
当1<a<e时,x∈[1,a],f′(x)≤0,f(x)为减函数,x∈[a,e],f′(x)≥0,f(x)为增函数,
所以f(x)min=f(a)=a-(a+1)lna-1;
当a≥e时,x∈[1,e],f′(x)≤0,f(x)为减函数,
所以f(x)min=f(e)=e−(a+1)−
;
综上,当a≤1时,f(x)min=1-a;当1<a<e时,f(x)min=a-(a+1)lna-1;当a≥e时,f(x)min=e−(a+1)−
;
(2)存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,即 f(x)min<g(x)min,
当a<1时,由(1)可知,x∈[e,e2],f(x)为增函数,
∴f(x1)min=f(e)=e−(a+1)−
,
g′(x)=x+ex-xex-ex=x(1-ex),
当x∈[-2,0]时g′(x)≤0,g(x)为减函数,g(x)min=g(0)=1,
∴e−(a+1)−
<1,a>
,
∴a∈(
,1).
(x−1)(x−a) |
x2 |
当a≤1时,x∈[1,e],f′(x)≥0,f(x)为增函数,
所以f(x)min=f(1)=1-a;
当1<a<e时,x∈[1,a],f′(x)≤0,f(x)为减函数,x∈[a,e],f′(x)≥0,f(x)为增函数,
所以f(x)min=f(a)=a-(a+1)lna-1;
当a≥e时,x∈[1,e],f′(x)≤0,f(x)为减函数,
所以f(x)min=f(e)=e−(a+1)−
a |
e |
综上,当a≤1时,f(x)min=1-a;当1<a<e时,f(x)min=a-(a+1)lna-1;当a≥e时,f(x)min=e−(a+1)−
a |
e |
(2)存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,即 f(x)min<g(x)min,
当a<1时,由(1)可知,x∈[e,e2],f(x)为增函数,
∴f(x1)min=f(e)=e−(a+1)−
a |
e |
g′(x)=x+ex-xex-ex=x(1-ex),
当x∈[-2,0]时g′(x)≤0,g(x)为减函数,g(x)min=g(0)=1,
∴e−(a+1)−
a |
e |
e2−2e |
e+1 |
∴a∈(
e2−2e |
e+1 |
看了已知函数:f(x)=x-(a+...的网友还看了以下:
我要问一个数列问题6.在公差不为零的等差数列{An}及等比数列{Bn}中,A1=1,A1=B1,A2 2020-03-30 …
设函数f(x)=(1+1/n)的n次方(n∈正整数,n大于1,x∈r)1,对于任意x,证明(f(2 2020-05-14 …
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内f(x)可导且f(x)≠0,f(b)=f(a)=0.试 2020-05-22 …
资本输出对落后国家的影响表现在( )A.促使落后国家自然经济瓦解 B.刺激落后国家资本主 2020-06-05 …
关于x的函数f(x)=cos(x+a)有以下命题:(1)对任意a,f(x)都是非奇非偶函数;(2) 2020-06-09 …
设函数f(x)在a,b上有连续函数,且存在c∈(a,b),使f'(c)=0,证明存在ξ∈(a,b) 2020-06-18 …
设F(X)连续,且f'(0)大于0,则存在a>0,使得()A,f(x)在(0,a)递增B,f(x) 2020-07-18 …
函数f(x)满足条件1.a≤f(x)≤b,对于任意的x∈[a,b];2.存在常数k,使得对于任意的 2020-07-26 …
2004年考研数一第八题:设函数f(x)连续,且f'(0)>0,则存在a>0,使得f(x)在(0, 2020-08-01 …
已知函数f(x)=sin(2x+π/6),若存在a∈(0,π),使得f(x+a)=f(x-a)恒成立 2020-11-10 …