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已知函数:f(x)=x-(a+1)lnx-ax(a∈R),g(x)=12x2+ex-xex(1)当x∈[1,e]时,求f(x)的最小值;(2)当a<1时,若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求a的
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已知函数:f(x)=x-(a+1)lnx-
(a∈R),g(x)=
x2+ex-xex
(1)当x∈[1,e]时,求f(x)的最小值;
(2)当a<1时,若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求a的取值范围.
a |
x |
1 |
2 |
(1)当x∈[1,e]时,求f(x)的最小值;
(2)当a<1时,若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
(a∈R),
当a≤1时,x∈[1,e],f′(x)≥0,f(x)为增函数,
所以f(x)min=f(1)=1-a;
当1<a<e时,x∈[1,a],f′(x)≤0,f(x)为减函数,x∈[a,e],f′(x)≥0,f(x)为增函数,
所以f(x)min=f(a)=a-(a+1)lna-1;
当a≥e时,x∈[1,e],f′(x)≤0,f(x)为减函数,
所以f(x)min=f(e)=e−(a+1)−
;
综上,当a≤1时,f(x)min=1-a;当1<a<e时,f(x)min=a-(a+1)lna-1;当a≥e时,f(x)min=e−(a+1)−
;
(2)存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,即 f(x)min<g(x)min,
当a<1时,由(1)可知,x∈[e,e2],f(x)为增函数,
∴f(x1)min=f(e)=e−(a+1)−
,
g′(x)=x+ex-xex-ex=x(1-ex),
当x∈[-2,0]时g′(x)≤0,g(x)为减函数,g(x)min=g(0)=1,
∴e−(a+1)−
<1,a>
,
∴a∈(
,1).
(x−1)(x−a) |
x2 |
当a≤1时,x∈[1,e],f′(x)≥0,f(x)为增函数,
所以f(x)min=f(1)=1-a;
当1<a<e时,x∈[1,a],f′(x)≤0,f(x)为减函数,x∈[a,e],f′(x)≥0,f(x)为增函数,
所以f(x)min=f(a)=a-(a+1)lna-1;
当a≥e时,x∈[1,e],f′(x)≤0,f(x)为减函数,
所以f(x)min=f(e)=e−(a+1)−
a |
e |
综上,当a≤1时,f(x)min=1-a;当1<a<e时,f(x)min=a-(a+1)lna-1;当a≥e时,f(x)min=e−(a+1)−
a |
e |
(2)存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,即 f(x)min<g(x)min,
当a<1时,由(1)可知,x∈[e,e2],f(x)为增函数,
∴f(x1)min=f(e)=e−(a+1)−
a |
e |
g′(x)=x+ex-xex-ex=x(1-ex),
当x∈[-2,0]时g′(x)≤0,g(x)为减函数,g(x)min=g(0)=1,
∴e−(a+1)−
a |
e |
e2−2e |
e+1 |
∴a∈(
e2−2e |
e+1 |
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