已知函数f（x）=2lnx-3x2-11x．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）≤（a-3）x2+（2a-13）x-2恒成，求整数a的最小值；（3）若正实数x1，x2满足f（x1）+f

Question

已知函数f（x）=2lnx-3x²-11x．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若关于x的不等式f（x）≤（a-3）x²+（2a-13）x-2恒成，求整数a的最小值；
（3）若正实数x₁，x₂满足f（x₁）+f（x₂）+4（x

2

1

+x

2

2

）+12（x₁+x₂）=4，证明：x₁+x₂≥2．

Answer 1

（1）∵f′（x）=(2)/(x)-6x-11，f′（1）=-15，f（1）=-14，
∴切线方程是：y+14=-15（x-1），即y=-15x+1；
（2）令g（x）=f（x）-（a-3）x²-（2a-13）x+2=2lnx-ax²+（2-2a）x+2，
∴g′（x）=(2)/(x)-2ax+（2-2a）=(-2ax2+(2-2a)x+2)/(x)，
a≤0时，∵x>0，∴g′（x）>0，g（x）在（0，+∞）递增，
∵g（1）=-a+2-2a+2=-3a+4>0，
∴关于x的不等式f（x）≤（a-3）x²+（2a-13）x-2不能恒成立，
a>0时，g′（x）=(-2a(x-(1)/(a))(x+1))/(x)，
令g′（x）=0，得x=(1)/(a)，
∴x∈（0，(1)/(a)）时，g′（x）>0，x∈（(1)/(a)，+∞）时，g′（x）<0，
故函数g（x）在（0，(1)/(a)）递增，在（(1)/(a)，+∞）递减，
故函数g（x）的最大值是g（(1)/(a)）=2ln(1)/(a)+(1)/(a)=(1)/(a)-2lna≤0，
令h（a）=(1)/(a)-2lna，则h（a）在（0，+∞）递减，
∵h（1）=1>0，h（2）=(1)/(2)-2ln2<(1)/(2)-2ln√(e)<0，
∴a≥2时，h（a）<0，故整数a的最小值是2；
（3）证明：由f（x₁）+f（x₂）+4（x

2

1

+x

2

2

）+12（x₁+x₂）=4，
得2ln（x₁x₂）+（x12+x22）+（x₁+x₂）=4，
从而(x1+x2)2+（x₁+x₂）=2x₁x₂-2ln（x₁x₂）+4，
令t=x₁•x₂，则由φ（t）=2t-2lnt+4，
得φ′（t）=(2(t-1))/(t)，可知φ（t）在区间（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
故φ（t）≥φ（1）=6，
∴(x

作业帮用户 2017-11-09 举报