已知抛物线E：y2=8x，圆M：（x-2）2+y2=4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）点Q（x0，y0）（x0≥5）是曲线C上的点，过点Q作圆M的两

Question

已知抛物线E：y²=8x，圆M：（x-2）²+y²=4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）点Q（x₀，y₀）（x₀≥5）是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求△QAB面积的最小值．

Answer 1

（1）设P（x，y），则点N（2x，2y）在抛物线E：y²=8x上，
∴4y²=16x，
∴曲线C的方程为y²=4x；
（2）设切线方程为y-y₀=k（x-x₀）．
令y=0，可得x=x0-(y0)/(k)，
圆心（2，0）到切线的距离d=(|2k+y0-kx0|)/(√(k2+1))=2，
整理可得(x02-4x0)k2+(4y0-2x0y0)k+y02-4=0．
设两条切线的斜率分别为k₁，k₂，则k₁+k₂=(2x0y0-4y0)/(x02-4x0)，k₁k₂=(y02-4)/(x02-4x0)，
∴△QAB面积S=(1)/(2)|（x₀-(y0)/(x1)）-（x₀-(y0)/(k2)）|y₀=2•(x02)/(x0-1)
设t=x₀-1∈[4，+∞），则f（t）=2（t+(1)/(t)+2）在[4，+∞）上单调递增，
∴f（t）≥(25)/(2)，即△QAB面积的最小值为(25)/(2)．