已知椭圆方程x²/4+y²=1.(2)过点P(1,1/4)的直线与椭圆交于两点D,E,若DP=PE,求直线DE的方程；（3）过点Q（1,0）的直线与椭圆交于M,N,若△OMN面积取得最大,求直线MN的方程

Question

已知椭圆方程x²/4+y²=1.(2)过点P(1,1/4)的直线与椭圆交于两点D,E,若DP=PE,求直线DE的方程；
（3）过点Q（1,0）的直线与椭圆交于M,N,若△OMN面积取得最大,求直线MN的方程

Answer 1

设D(x1,y1)P(x2.y2)
x1+x2=2
y1+y2=1/2
x1²/4+y1²=1
x2²/4+y2²=1
两式相减
(x1-x2)(x1+x2)/4+(y1-y2)(y1+y2)=0
整理
(y1-y2)/(x1-x2)=-(x1+x2)/4(y1+y2)=-2/2=-1
所以直线斜率是1
直线方程就是y-1/4=-(x-1)即4x+4y=5
(3)设两点是M(x1,y1)N(x2,y2)
△OMN面积=△OQN面积+△OQM面积
=1/2|OQ|*|y1-y2|
=1/2|y1-y2|
设直线方程ay=x-1
联立椭圆消去x,求得
|y1-y2|=[4√(a2+3)]/(a2+4)
[4√(a2+3)]/(a2+4)
=4/[(a2+3+1)/√(a2+3)]
=4/[√(a2+3)+1/√(a2+3)]
所以要想值最大,需要分母最小
设√a2+3=t t≥√3
=4/(t+1/t)
t+1/t在[√3,+∞)上是增函数
所以最小值t=√3,即a=0时
所以直线方程是
x-1=0