设d是由圆周x^2+y^2=r^2所围成的闭区域,则ﾁ7ﾽ8x^2+y^2在d上的二重积分为

Question

设d是由圆周x^2+y^2=r^2所围成的闭区域,则ﾁ7ﾽ8x^2+y^2在d上的二重积分为

Answer 1

参考：设D为圆周x^2+y^2=R^2所围的闭区域,则∫∫√(x^2+y^2)dxdy=
在极坐标的形式下用换元积分法：
令x=rcosα,y=rsinα,在极坐标中积分区间就变为圆r=R
∫∫√(x^2+y^2)dxdy=
∫∫r^2drdα （∫[0,2π]表示从0到2π上积分）
=∫[0,2π]dα∫[0,R]r^2dr
=∫[0,2π](R^3/3)dα
=(2πR^3)/3