已知点P（2，2），圆C：x2+y2-8x=0，过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程；（Ⅱ）当|0P|=|OM|时，求直线l的方程．

Question

已知点P（2，2），圆C：x²+y²-8x=0，过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）当|0P|=|OM|时，求直线l的方程．

Answer 1

（I）圆C的方程可化为（x-4）²+y²=16，
所以圆心为C（4，0），半径为4，
设M（x，y），则

CM

=（x-4，y），

MP

=（2-x，2-y），
由题设知

CM

•

MP

=0，
故（x-4）（2-x）+y（2-y）=0，
即（x-3）²+（y-1）²=2．
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是（x-3）²+（y-1）²=2．
（II）由（1）可知M的轨迹是以点N（3，1）为圆心，√(2)为半径的圆．
由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，
又P在圆N上，从而ON⊥PM．
因为ON的斜率为(1)/(3)，
所以l的斜率为-3，
故l的方程为y-2=-3（x-2），即为3x+y-8=0．