已知整数n>4,lim{(x^n+7x^4＋2)^m-x}x趋向于正无穷,存在且不为零,求m是多少?

Question

已知整数n>4,lim{(x^n+7x^4＋2)^m-x}
x趋向于正无穷,存在且不为零,求m是多少?

Answer 1

假设lim(x^n+7x^4＋2)^m-x=a
也就是x充分大 时(x^n+7x^4＋2)^m=x+a+O(0) O(0)表示一个有界量
所以m=1/n
那么对原式分子分母同时除以x 且令t=1/x
lim(t-->0)[(1+7t^(n-4)+t^n)^1/n]/t
用等价替换(1+x)^n-1~x 化为lim(t-->0) 7t^(n-4)+t^n/nt
洛比达 求导lim(t-->0) 7(n-4)t^(n-5)+nt^(n-1)/n
极限不等于0 所以n-5=0 那么n=5 m=1/5 且极限是7/5