已知函数f(x)=kx-kx-2lnx．（Ⅰ）若f′（2）=0，求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求实数k的取值范围．

Question

已知函数f(x)=kx-(k)/(x)-2lnx．
（Ⅰ）若f′（2）=0，求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

f′（x）=k+(k)/(x2)-(2)/(x)=(kx2-2x+k)/(x2)
由f'（2）=0，得k=(4)/(5)，
函数f（x）=(4)/(5)x-(4)/(5x)-2lnx，
（Ⅱ）函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），
要使函数f（x）在其定义域内为增函数，只需函数f′（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，即，
kx²-2x+k≥0在区间（0，+∞）上恒成立，
即k≥(2x)/(x2+1)在区间（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=(2x)/(x2+1)，x∈（0，+∞），
g（x）=(2x)/(x2+1)=(2)/(x+(1)/(x))≤1，当且仅当x=1时取等号，
∴k≥1．