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设f（x）=3x2+x2|x|，求使f（n）（0）存在的最高阶数k，并给出f（k）（x）．
题目详情
设f（x）=3x2+x2|x|，求使f（n）（0）存在的最高阶数k，并给出f（k）（x）．
▼优质解答
答案和解析
显然，f（x）在x=0处连续．
因为
=
3x+x|x|
=0，
所以f′（0）存在，且f′（0）=0．
当x＞0时，
f′（x）=（3x2+x3）′=6x+3x2，
当x＜0时，
f′（x）=（3x2-x3）′=6x-3x2，
从而，
f′（x）=
=6x-3x|x|．
因为
=
=
6−3|x|
=6，
所以f″（0）存在，且f″（0）=6．
当x＞0时，
f″（x）=（6x+3x2）′=6+6x=6（1+|x|），
当x＜0时，
f″（x）=（6x-3x2）′=6-6x=6（1+|x|），
所以，
f″（x）=6（1+|x|）．
因为
=
=6，
=
=-6，
所以
不存在，
即f″′（0）不存在．
故使得f（n）（0）存在的最高阶数为k=2，
且f″（x）=6（1+|x|）．
因为
| lim |
| x→0 |
| f(x)−f(0) |
| x−0 |
=
| lim |
| x→0 |
=0，
所以f′（0）存在，且f′（0）=0．
当x＞0时，
f′（x）=（3x2+x3）′=6x+3x2，
当x＜0时，
f′（x）=（3x2-x3）′=6x-3x2，
从而，
f′（x）=
|
=6x-3x|x|．
因为
| lim |
| x→0 |
| f′(x)−f′(0) |
| x−0 |
=
| lim |
| x→0 |
| 6x−3x|x| |
| x |
=
| lim |
| x→0 |
=6，
所以f″（0）存在，且f″（0）=6．
当x＞0时，
f″（x）=（6x+3x2）′=6+6x=6（1+|x|），
当x＜0时，
f″（x）=（6x-3x2）′=6-6x=6（1+|x|），
所以，
f″（x）=6（1+|x|）．
因为
| lim |
| x→0+ |
| f″(x)−f″(0) |
| x−0 |
| lim |
| x→0+ |
| 6|x| |
| x |
| lim |
| x→0− |
| f″(x)−f″(0) |
| x−0 |
| lim |
| x→0− |
| 6|x| |
| x |
所以
| lim |
| x→0 |
| f″(x)−f″(0) |
| x−0 |
即f″′（0）不存在．
故使得f（n）（0）存在的最高阶数为k=2，
且f″（x）=6（1+|x|）．
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