当x→0时，f（x）=ln（2x2+e2x）-2x是g（x）=ln（2sin2x+ex）-x的（）A．同阶而非等价无穷小B．低阶无穷小C．高阶无穷小D．等价无穷小

Question

当x→0时，f（x）=ln（2x²+e^2x）-2x是g（x）=ln（2sin²x+e^x）-x的（　　）

A．同阶而非等价无穷小
B．低阶无穷小
C．高阶无穷小
D．等价无穷小

Answer 1

∵

lim

x→0

(f(x))/(g(x))＝

lim

x→0

(ln(2x2+e2x)−2x)/(ln(2sin2x+ex)−x)=

lim

x→0

((4x+2e2x)/(2x2+e2x)−2)/((4sinxcosx+ex)/(2sin2x+ex)−1)
=

lim

x→0

(4x−4x2)/(2x2+e2x)•(2sin2x+ex)/(2sinx(2cosx−sinx))=

lim

x→0

(2sin2x+ex)/(2x2+e2x)•

lim

x→0

(2x(1−x))/(sinx(2cosx−sinx))
=2

lim

x→0

(x)/(sinx)•

lim

x→0

(1−x)/(2cosx−sinx)＝1
∴当x→0时，f（x）是g（x）的等价无穷小．
故选：D．