已知函数f（x）=x2+2x+a/x,x∈[1,+∞）．1：当a=1/2时,求函数f（x）的最小值2：若对于任意在定义域上的x,都有f（x）＞0恒成立,试求实数a的取值范围

Question

已知函数f（x）=x2+2x+a/x,x∈[1,+∞）．
1：当a=1/2时,求函数f（x）的最小值
2：若对于任意在定义域上的x,都有f（x）＞0恒成立,试求实数a的取值范围

Answer 1

1：当a=1/2时,f(x)=x^2+2x+1/(2x)
x∈[1,+∞）时,x^2递增,2x+1/(2x)递增,f(x)在[1,+∞）递增
f（x）的最小值＝f(1)=7/2
2：f(x)=x^2+2x+a/x>0,得a>-x^3-2x^2
设g(x)=-x^3-2x^2,g(x)在[1,+∞）递减,g(x)的最大值为g(1)=-3
所以a>-3