在△ABC中,∠BAC=40°,∠ABC=60°,D和E分别是边AC、AB上的点使得∠CBD=40°,∠BCE=70°,F是直线BD和CE的交点,边BC的长为1,证AF⊥BC

Question

在△ABC中,∠BAC=40°,∠ABC=60°,D和E分别是边AC、AB上的点使得∠CBD=40°,∠BCE=70°,F是直线BD和CE的交点,边BC的长为1,证AF⊥BC

Answer 1

∠BFC=180°—40°—70°=70°,所以BF=BC.
以BF为边作正三角形BFM,则BM=BC,
∠BMC=∠BCM=40=∠BAC=∠MBA,所以三角形MBC全等于三角形MBA,MA=MB=MF.
所以,∠AMF=∠CBF,三角形AMF全等于三角形CBF,
所以,AF=FC.
从而,∠FAC=∠FCA=10°,AF⊥BC.