设f(x,y)在区域D上连续,(a,b)是D的一个内点,Ur是D内以(a,b)为中心、以r为半径的闭圆域试求极限lim（r→0+）[1/(πr^2)]∫∫f(x,y)dσ积分区域为Ur

Question

设f(x,y)在区域D上连续,(a,b)是D的一个内点,Ur是D内以(a,b)为中心、以r为半径的闭圆域 试求极限
lim（r→0+）[1/(π r^2)] ∫∫ f(x,y)dσ
积分区域为Ur

Answer 1

lim（r→0+）[1/(π r^2)] ∫∫ f(x,y)dσ
=lim（r→0+）[1/(π r^2)] f(x0,y0) (π r^2)
=lim（r→0+） f(x0,y0)
=f(a,b)
利用积分中值定理 ,(x0,y0) 是闭圆域内的某一点.
∫∫ f(x,y)dσ= f(x0,y0) (π r^2)