如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH=FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG=3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为．

Question

如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH=FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG=3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为______．

Answer 1

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，即∠CBG+∠ABF=90°，
又CG⊥BE，即∠BGC=90°，
∴∠BCG+∠CBG=90°，
∴∠ABF=∠BCG，
又AF⊥BG，
∴∠AFB=∠BGC=90°，
∴△ABF≌△BCG，
∴AF=BG，BF=CG=FH=3，
又∵FH=BF，
∴AH=FG，设AH=FG=x，
∵PH⊥AF，BF⊥AF，
∴∠AHP=∠AFB=90°，又∠PAH为公共角，
∴△APH ∽ △ABF，
∴ (PH)/(BF) = (AH)/(AF) ，即PH= (3x)/(x+3) ，
∵FH ∥ BF，BP不平行FH，
∴四边形BFHP为梯形，其面积为 (3((3x)/(x+3)+3))/(2) = (9x)/(2(x+3)) + (9)/(2) ；
又∵∠BCG+∠ECG=90°，∠ECG+∠BEC=90°，
∴∠BCG=∠BEC，又∠BGC=∠CGE=90°，
∴△BCG ∽ △CEG，
∴ (BG)/(CG) = (CG)/(GE) ，即GE= (9)/(x+3) ，故Rt△CGE的面积为 (1)/(2) ×3× (9)/(x+3) ，
则△CGE与四边形BFHP的面积之和为 (9x)/(2(x+3)) + (9)/(2) + (27)/(2(x+3)) = (9(x+3))/(2(x+3)) + (9)/(2) =9．
故答案为：9