已知点M到点F（1，0）和直线x=-1的距离相等，记点M的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）过点F作相互垂直的两条直线l1、l2，曲线C与l1交于点P1、P2，与l2交于点Q1、Q2，试证明：1|P1P2|+1|Q1Q2|＝

Question

已知点M到点F（1，0）和直线x=-1的距离相等，记点M的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）过点F作相互垂直的两条直线l₁、l₂，曲线C与l1交于点P₁、P₂，与l₂交于点Q₁、Q₂，试证明：(1)/(|P1P2|)+(1)/(|Q1Q2|)＝(1)/(4)．

Answer 1

（1）∵点M到点F（1，0）和直线x=-1的距离相等，
由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线，
设方程为y²=2px（p＞0），∵(p)/(2)=1，∴p=2．
∴轨迹C的方程为y²=4x．
（2）证明：设l₁的方程为y=k（x-1），代入抛物线方程，整理可得k²x-（2k²+4）x+k²=0，
设P₁、P₂的横坐标分别为x₁、x₂，则x₁+x₂=(2k2+4)/(k2)，
∴|P₁P₂|=x₁+x₂+p=(4k2+4)/(k2)，
以-(1)/(k)代入，可得|Q₁Q₂|=4+4k²，
∴(1)/(|P1P2|)+(1)/(|Q1Q2|)=(1)/(4)．