设D=A^-1B^T(CB^-1+E)^T-[(C^-1)^TA]^-1,化简D是方阵哦

Question

设D=A^-1B^T(CB^-1+E)^T-[(C^-1)^TA]^-1,化简D
是方阵哦

Answer 1

本题就用两组关系式就可以,一个是转置,一个是逆
(AB)^-1 = B^-1 A^-1
(AB)^T = B^T A^T
(A + B)^-1 = A^-1 + B^-1
(A + B)^T = A^T + B^T
D = A^-1 B^T (CB^-1 + E)^T - [(C^-1)^T A]^-1
= A^-1 B^T [(CB^-1)^T + E^T] - A^-1 [(C^-1)^T]^-1
= A^-1 B^T [(B^-1)^T C^T + E] - A^-1 [C^-1)^-1]^T
= A^-1 B^T (B^-1)^T C^T + A^-1 B^T - A^-1 C^T
= A^-1 (B^-1 B)^T C^T + A^-1 B^T - A^-1 C^T
= A^-1 C^T + A^-1 B^T - A^-1 C^T
= A^-1 B^T