设函数z=z（x，y）由方程F（xzy，yzx）=0所确定，其中f有一阶连续偏导数，求x∂z∂x+y∂z∂y．

Question

设函数z=z（x，y）由方程F（(xz)/(y)，(yz)/(x)）=0所确定，其中f有一阶连续偏导数，求x(∂z)/(∂x)+y(∂z)/(∂y)．

Answer 1

设u＝(xz)/(y)，v＝(yz)/(x)，则f（u，v）=0
∴两边对x和对y求偏导，得
F′uu′x+F′vv′x＝F′u((z)/(y)+(x)/(y)(∂z)/(∂x))+F′v(−(yz)/(x2)+(y)/(x)(∂z)/(∂x))＝0
解得：(∂z)/(∂x)＝((yz)/(x2)F′v−(z)/(y)F′u)/((x)/(y)F′u+(y)/(x)F′v)
F′uu′y+F′vv′y＝F′u(−(xz)/(y2)+(x)/(y)(∂z)/(∂y))+F′v(−(z)/(x)+(y)/(x)(∂z)/(∂y))＝0
解得：(∂z)/(∂y)＝((xz)/(y2)F′u−(z)/(y)F′v)/((x)/(y)F′u+(y)/(x)F′v)
所以x(∂z)/(∂x)+y(∂z)/(∂y)＝((yz)/(x)F′v−(xz)/(y)F′u+(xz)/(y)F′u−(yz)/(x)F′v)/((x)/(y)F′u+(y)/(x)F′v)=0