设y=y（x），z=z（x）是由方程z=xf（x+y）和F（x，y，z）=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dzdx．

Question

设y=y（x），z=z（x）是由方程z=xf（x+y）和F（x，y，z）=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求(dz)/(dx)．

Answer 1

因为y=y（x），z=z（x）是由方程z=xf（x+y）和F（x，y，z）=0所确定的函数
等式z=xf（x+y）两边对x求导得：
(dz)/(dx)=[xf（x+y）]'=f（x+y）+xf'（x+y）（x+y）'
=f（x+y）+xf'（x+y）（1+(dy)/(dx)）
即：(dz)/(dx)=f（x+y）+xf'（x+y）（1+(dy)/(dx)）
等式F（x，y，z）=0两边对x求导得：
(∂F(x，y，z))/(∂x)+(∂F(x，y，z))/(∂y)(dy)/(dx)+(∂F(x，y，z))/(∂z)(dz)/(dx)=0
根据等式：(∂F(x，y，z))/(∂x)+(∂F(x，y，z))/(∂y)(dy)/(dx)+(∂F(x，y，z))/(∂z)(dz)/(dx)=0
以及等式：(dz)/(dx)=f（x+y）+xf'（x+y）（1+(dy)/(dx)）
可以解得：
(dz)/(dx)=([f(x+y)+xf′(x+y)](∂F(x，y，z))/(∂y)−xf′(x+y)(F(x，y，z))/(∂z))/((∂F(x，y，z))/(∂y)+xf′(x+y)(F(x，y，z))/(∂z))