计算曲面积分∫∫Sxdydz+z2dxdyx2+y2+z2，其中S是由曲面x2+y2=R2及z=R，z=-R（R＞0）所围成立体表面的外�计算曲面积分∫∫Sxdydz+z2dxdyx2+y2+z2，其中S是由曲面x2+y2=R2及z=R，z=-R（R＞0）所围成立体表面

Question

计算曲面积分∫∫Sxdydz+z2dxdyx2+y2+z2，其中S是由曲面x2+y2=R2及z=R，z=-R（R＞0）所围成立体表面的外�
计算曲面积分

∫∫

S

(xdydz+z2dxdy)/(x2+y2+z2)，其中S是由曲面x²+y²=R²及z=R，z=-R（R＞0）所围成立体表面的外侧．

Answer 1

设∑₁ 为S的侧面，方向向外，在yOz面的投影为：
D={（y，z）|-R≤y≤R，-R≤z≤R}，
∑₂ 为S的上底面，方向与z轴方向一致，
∑₃ 为S的下底面，方程与z轴负向一致，
则：
 

?

S

(xdydz+z2dxdy)/(x2+y2+z2)
=

?

∑1

(xdydz+z2dxdy)/(x2+y2+z2)+

?

∑2

(xdydz+z2dxdy)/(x2+y2+z2)+

?

∑3

(xdydz+z2dxdy)/(x2+y2+z2)，
∵z²关于x为奇函数，
∴

?

∑1

(z2dxdy)/(x2+y2+z2)=0，
故：

?

∑1

(xdydz+z2dxdy)/(x2+y2+z2)=

?

∑1

(xdydz)/(R2+z2)=2

?

D

作业帮用户 2017-10-11

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