设二元可微函数F（x,y）在直角坐标系中F(x,y)=f(x)+g(y)在极坐标中可写为F(x,y)=S(r),求二元函数F（x,y）

Question

设二元可微函数F（x,y）在直角坐标系中F(x,y)=f(x)+g(y)在极坐标中可写为F(x,y)=S(r),求二元函数F（x,y）

Answer 1

因为r=√(x^2+y^2)
所以有S(r)=f(x)+g(y)
两边对x求导：S'(r)*x/r=f'(x)
两边对y求导：S'(r)*y/r=g'(y)
两式相除得：x/y=f'(x)/g'(y)
即f'(x)/x=g'(y)/y=C,C为常数
所以得：f'(x)=Cx,积分得：f(x)=Cx^2/2+C1
同样：g(y)=Cy^2/2+C2
f(x)+g(y)=C(x^2+y^2)/2+C1+C2
所以有：F(x,y)=A(x^2+y^2)+B
其中A,B为任意常数.