14、设数列{an}是公差不为零的等差数列,前n项和为Sn,满足a2^2+a3^2=a4^2+a5^2,s7=7则使得(am*a(m+1))/a(m+2)为数列{an}中的项的所有正整数m为mm+1m+2均为下标.

Question

14、设数列{an}是公差不为零的等差数列,前n项和为Sn ,满足a2^2+a3^2=a4^2+a5^2,s7=7则使得(am*a(m+1))/a(m+2) 为数列{an}中的项的所有正整数m为_______
m m+1m+2均为下标.

Answer 1

设an=a+(n-1)d,d不等于0
（a2）^2+(a3)^2=（a4）^2+(a5)^2
即（a+d）^2+(a+2d)^2=（a+3d）^2+(a+4d)^2
解得a=-5d/2
再由Sn=n(a1+an)/2 s7=7得d=2
即an=2n-7
求满足(2m-7)((2m-5)/(2m-3)=2n-7的整数m
令2m-3=b,则有
（b-2)(b-4)/b=2n-7
即b-6+(8/b)=2n-7 将2m-3＝b代入得
2m-3-6+[8/(2m-3)]=2n-7 即有n=m-1+[4/(2m-3)]（n为大于0的自然数）
所以4/(2m-3)必须为整数,则 2m-3取值可为±1,±2,±4,又m为整数,即m＝1或m=2
代回检验 m=1不符合题意【n=1-1+[4/(2-3)]=-4】
所以m=2