已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为33，左焦点为F（-1，0），（1）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线L与椭圆C交于M，N两点，若AM•NB+AN•MB=7求直线L的方程；（2）

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为(√(3))/(3)，左焦点为F（-1，0），
（1）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线L与椭圆C交于M，N两点，若

AM

•

NB

+

AN

•

MB

=7求直线L的方程；
（2）椭圆C上是否存在三点P，E，G，使得S_△OPE=S_△OPG=S_△OEG=(√(6))/(2)？

Answer 1

（1）∵椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为(√(3))/(3)，左焦点为F（-1，0），
∴c=1，(c)/(a)=(√(3))/(3)，
∴a=√(3)，
∴b=√(2)，
∴椭圆的方程为(x2)/(3)+(y2)/(2)＝1．
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由F（-1，0）得直线MN的方程为y=k（x+1）．
代入椭圆方程，消去y，整理得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，
可得x₁+x₂=-(6k2)/(2+3k2)，x₁x₂=(3k2−6)/(2+3k2)．
∵A（-√(3)，0），B（√(3)，0），
∴

AM

•

NB

+

AN

•

MB

=（x₁+√(3)，y₁）•（√(3)-x₂，-y₂）+（x₂+√(3)，y₂）•（√(3)-x₁，-y₁）
=6-2x₁x₂-2y₁y₂
=6-2x₁x₂-2k²（x₁+1）（x₂+1）
=6-（2+2k²）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）-2k²
=6+(2k2+12)/(2+3k2)．
由已知得6+(2k2+12)/(2+3k2)=7，解得k=±√(10)．
故所求直线L的方程为：y＝√(10)(x+1)和y＝−√(10)(x+1)；
（2）假设存在P（u，v），E（x₁，y₁），G（x₂，y₂）满足S_△OPE=S_△OPG=S_△OEG=(√(6))/(2)．
不妨设E（x₁，y₁），G（x₂，y₂）两点确定的直线为 l，
（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，E，G两点关于x轴对称，∴x₂=x₁，y₂=-y₁，
∵E （x₁，y₁）在椭圆上，
∴(x2)/(3)+(y2)/(2)＝1．①
∵S_△OEG=(√(6))/(2)，
∴|x₁|•|y₁|=(√(6))/(2)，②
由①、②得|x₁|=(√(6))/(2)，|y₁|=1，
此时x₁²+x₂²=3，y₁²+y₂²=2．
（ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，
由题意知m≠0，将其代入(x2)/(3)+(y2)/(2)＝1得
（2+3k²）x²+6kmx+3（m²-2）=0，
其中△=36k²m²-12（2+3k²）（m²-2）＞0，
即3k²+2＞m²，（★）
又x₁+x₂=-(6km)/(2+3k2)，x₁x₂=(3(m2−2))/(2+3k2)，
∴|EG|=√(1+k2)•√((x1+x2)2−4x1x2)=√(1+k2)•(2√(6)•√(3k2+2−m2))/(2+3k2)．
∵点O到直线l的距离为d=(|m|)/(√(1+k2))，
∴S_△OEG=(1)/(2)|EG|•d=(1)/(2)•√(1+k2)•(2√(6)•√(3k2+2−m2))/(2+3k2)•(|m|)/(√(1+k2))=(√(6)|m|•√(3k2+2−m2))/(2+3k2)．
又S_△OEG=(√(6))/(2)，
整理得3k²+2=2m²，且符合（★）式．
此时x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=3，y₁²+y₂²=2
综上所述，x₁²+x₂²=3，y₁²+y₂²=2，结论成立．
同理可得：u²+x₁²=3，u²+x₂²=3，v²+y₁²=2，v²+y₂²=2，
解得u²=x₁²=x₂²=(3)/(2)；v²=y₁²=y₂²=1．
因此u，x₁，x₂只能从±(√(6))/(2)中选取，v，y₁，y₂只能从±1中选取．
因此P、E、G只能在（±(√(6))/(2)，±1）这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S_△OPE=S_△OPG=S_△OEG=(√(6))/(2)矛盾，
∴椭圆C上不存在满足条件的三点P、E、G．