（1）如图1，平行四边形ABCD中，AM⊥BC于M，DN⊥BC于N．求证：BM=CN．（2）如图2，平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2．（3）如图，PT是△PQR的中线，已知：PQ=7，QR=

Question

（1）如图1，平行四边形ABCD中，AM⊥BC于M，DN⊥BC于N．求证：BM=CN．
（2）如图2，平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，求证：AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+DA²．
（3）如图，PT是△PQR的中线，已知：PQ=7，QR=6，RP=5．求：PT的长度．

Answer 1

（1）证明：∵AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，
∴∠AMB=∠DNC=90°，
∵在平行四边形ABCD中，AB=DC，AB∥DC，
∴∠B=∠DCN，
∵∠BMA=∠CND=90°，
在△ABM和△DCN中，

∠B=∠DCN

∠AMB=∠DNC

AB=DC

，
∴△ABM≌△DCN（AAS），
∴BM=CN；                       
（2）证明：作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，如图2所示：
在Rt△DBN和Rt△DCN中，根据勾股定理得：BD²-CD²=BN²-CN²=BC²+2BC•CN，
同理：AC²-AB²=CM²-BM²=BC²-2BC•BM，
∵BM=CN，AD=BC，
∴AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+DA²；             
（3） 延长PT至S，使得PT=TS，连接QS，RS，如图3所示：
∵PT是△PQR的中线，
∴QT=RT，
∴四边形PQSR为平行四边形，
∴PQ=RS=7，RP=QS=5，
由（2）得：PS²+RQ²=PQ²+QS²+SR²+PR²，
∴（2PT）²+6²=7²+5²+7²+5²，
∴PT=2√(7)．