1.如图,在平行四边形ABCD中AC⊥AB,AC与BD相交于点O,将△ABC沿对角线AC翻转180°,得到△AB'C.（1）求证：以A,C,D,B'为顶点的四边形是矩形；（2）若四边形ABCD的面积为12平方厘米,求翻转后重叠部分的

Question

1.如图,在平行四边形ABCD中AC⊥AB,AC与BD相交于点O,将△ABC沿对角线AC翻转180°,得到△AB'C.
（1）求证：以A,C,D,B'为顶点的四边形是矩形；
（2）若四边形ABCD的面积为12平方厘米,求翻转后重叠部分的面积,即△ACE的面积
2.如图,四边形ABCD是直角梯形,∠B=90°,AB=10cm,AD=30cm,BC=36cm,点P从A点出发,以1cm/s的速度向D运动,点Q从C同时出发,以2cm/s的速度向B运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随着停止运动.
（1）经过多少时间,四边形PQCD成为平行四边形?
（2）经过多少时间,四边形PQCD成为等腰梯形?
（3）问：四边形PQCD能成菱形?若能,求出运动时间；若不能,请说明理由.

Answer 1

1,解（1）连结B'D
因为四边形ABCD是平行四边形,所以：AB=CD,AB//CD,所以AB’//CD
因为△AB'C是将△ABC沿对角线AC翻转180°而得
所以：AB'=AB,∠CAB=∠CAB’所以AB’=CD
所以四边形ACDB'是平行四边形
因为∠CAB+∠CAB’=180°,所以∠CAB’=90°
所以四边形ACDB'是矩形
（2）作EP⊥AC
所以∠EPC=∠CAB’=90°,因为∠ECP=∠ACB’
所以△CEO∽△CB’A
所以CE：B’C=EP：AB'
因为四边形ACDB'是矩形,所以CE=1/2B'C
所以CE：B’C=1/2,所以EP=1/2AB'
因为四边形ABCD的面积为12平方厘米,AC是对角线
所以S△ABC=1/2S平行四边形ABCD=6
因为△AB'C是将△ABC沿对角线AC翻转180°而得
所以S△AB'C=S△ABC=6
因为 ∠CAB’=90°,所以：S△AB'C=1/2AC*AB'=6
因为∠EPC=90°,所以S△ACE=1/2*AC*EP=1/2*AC*1/2AB'=3
2,设运动了t秒
则：AP=t,CQ=2t,PD=AD-AP=30-t
（1）因为四边形ABCD是直角梯形,所以AD//BC
所以当PD=CQ时,四边形PQCD成为平行四边形
即：30-t=2t,所以t=10
（2）先作四边形PQCD成为等腰梯形的图：
分别过点P,D作PM⊥BC,DE垂直BC
所以PD=ME（矩形）
用勾股定理得：MQ=CE=6
所以ME=CQ-MQ-CE=2t-12
所以2t-12=30-t,解得：t=12
（3）若四边形PQCD能成菱形,
则：CD=CQ=PD,即：30-t=2t=CD,即CD=20
过点作DE⊥BC
则DE=AB=10,CE=BC-AD=6
由勾股定理得：CD=8
与上述相矛盾,所以 四边形PQCD不能成菱形