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设二元函数f（x，y）在平面R2上二阶连续可微，而且f（x，2x）=x，fx（x，2x）=x2，fxx（x，y）=fyy（x，y），∀（x，y）∈R2，求fy（x，2x），fyy（x，2x）及fxy（x，2x）．
题目详情
设二元函数f（x，y）在平面R2上二阶连续可微，而且f（x，2x）=x，fx（x，2x）=x2，fxx（x，y）=fyy（x，y），∀（x，y）∈R2，求fy（x，2x），fyy（x，2x）及fxy（x，2x）．
▼优质解答
答案和解析
由f（x，2x）=x两边对x求导，得
fx+fy
=0，即fx（x，2x）+2fy（x，2x）=0
而fx（x，2x）=x2，
∴fy（x，2x）=-
x2
∴上式两边继续对x求导，得
fyx（x，2x）+2fyy（x，2x）=-x
由已知，得fxy（x，2x）+2fyy（x，2x）=-x…①
再次对fx（x，2x）+2fy（x，2x）=0两边关于x求导，得
fxx（x，2x）+2fxy（x，2x）+2fyx（x，2x）+4fyy（x，2x）=0
即4fxy（x，2x）+5fyy（x，2x）=0…②
联立①②，得
fyy(x，2x)=-
x，fxy(x，2x)=
x
fx+fy
| dy |
| dx |
而fx（x，2x）=x2，
∴fy（x，2x）=-
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∴上式两边继续对x求导，得
fyx（x，2x）+2fyy（x，2x）=-x
由已知，得fxy（x，2x）+2fyy（x，2x）=-x…①
再次对fx（x，2x）+2fy（x，2x）=0两边关于x求导，得
fxx（x，2x）+2fxy（x，2x）+2fyx（x，2x）+4fyy（x，2x）=0
即4fxy（x，2x）+5fyy（x，2x）=0…②
联立①②，得
fyy(x，2x)=-
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