一道高一有关求二次函数的数学题,设二次函数f(x)满足f(X-2)=f(-X-2),且经过(0,1)点,又被X轴截得的线段长为2倍根号2,求函数f(X)的解析式.

Question

一道高一有关求二次函数的数学题,
设二次函数f(x)满足f(X-2)=f(-X-2),且经过(0,1)点,又被X轴截得的线段长为2倍根号2,求函数f(X)的解析式.

Answer 1

设f(x)=ax^2+bx+c
经过(0,1)点
所以c=1
因为f(X-2)=f(-X-2),
所以对称轴是(-2-2)/2=-2
-b/2a=-2
-b/a=-4
设ax^2+bx+c=0的两根是x1,x2
据题意(x1-x2)^2=(2倍根号2)^2=8
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2
根据韦达定理
x1+x2=-b/a,x1x2=c/a=1/a
(x1-x2)^2=(-b/a)^2-4/a=8
将-b/a=-4代入
16-4/a=8
4/a=8
a=1/2
所以b=2
f(x)=x^2/2+2x+1