在平面直角坐标系中,如图1,将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上,设抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过矩形顶点B、C直接写出a关于n的关系式（要过程）（1

Question

在平面直角坐标系中,如图1,将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上,设抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过矩形顶点B、C
直接写出a关于n的关系式（要过程）
（1）当n=1时，如果a=-1，试求b的值；
（2）当n=2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；
（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O．
①试求当n=3时a的值；
②直接写出a关于n的关系式．（重点是这一问，怎么求出来的，前面几问可以不写）

Answer 1

1.当n=1,则A点的坐标为（1,0）B点坐标（1,1）C点坐标（0,1）
抛物线y=-x²+bx+c（a＜0）过矩形顶点B、C．
a=-1
1=-1+b+c
1=c
解得：b=1 c=1
2.当n=2时,B点坐标为：（2,1） C点（0,1）
因为没图,设E先靠近C,则设N点的坐标为（m,2) 因此M点的坐标为（m+1,2)
把B,C,M,N 四点坐标代入 抛物线y=ax²+bx+c
B:1=4a+2b+c (1)
C:1=c (2)
M:2=a(m+1)²+b(m+1)+c (3)
N:2=am²+bm+c (4)
由（3）得 2=a(m²+2m+1)+bm+b+c=am²+2am+a+bm+b+c (5)
把（4）代入（5）得 2=2+2am+a+b 2am+a+b=0 (6)
把(2)代入（1）得 2a+b=0 b=-2a 代入（6）
2am+a-2a=0 2am=a m=1/2
则M点的坐标（3/2,2）N点坐标（1/2,2）
把m=1/2和（2）代入（4） 2=1/4a+1/2b+1 整理得：a+2b=4 （7）
把（2）代入（1）得 2a+b=0 (8)
由（7）（8）解得：a=-4/3 b=8/3
抛物线的解析式y=-4/3x²+8/3x+1
3.当n=3 OA=3 OB=根号10 AB=OC=1
这时B点的坐标为(根号10,0）
矩形OABC绕点O顺时针旋转,使得点B落到x轴的正半轴上,过C点作CP⊥Y轴交Y轴于P
因为三角形OCP∽三角形OAB
OC/OB=OP/OA=CP/AB
1/根号10=OP/3 OP=3/10*根号10
1/根号10=CP/1 CP=1/10*根号10
所以C点的坐标为（1/10*根号10,3/10*根号10）
把O,B,C三点坐标代入抛物线y=ax²+bx+c
O:c=0
B:0=10a+b*根号10+c 得10a+b*根号10=0 b*根号10=-10a (9)
C:3/10*根号10=1/10a+1/10*根号10*b+c 得 3*根号10=a+b*根号10
把（9）代入 解得：3*根号10=a-10a
a=-1/3*根号10
a=-1/n*根号（n²+1)