已知数列{an}满足a1=9，其前n项和为Sn，对n∈N*，n≥2，都有Sn=3（Sn-1+3）（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证：数列{Sn+92}是等比数列．

Question

已知数列{a_n}满足a₁=9，其前n项和为S_n，对n∈N^*，n≥2，都有S_n=3（S_n-1+3）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；  
（Ⅱ）求证：数列{S_n+(9)/(2)}是等比数列．

Answer 1

（Ⅰ）∵S_n=3（S_n-1+3），∴S_n+1=3（S_n+3），
∴a_n+1=3a_n．故{a_n}是公比为3，首项为9的等比数列，
∴a_n=3ⁿ⁺¹．---（5分）
证明：（Ⅱ）因为an=9•3n-1，所以S_n=(9(1-3n))/(1-3)=-(9)/(2)+(9)/(2)-3ⁿ，（7分）
所以，Sn+(9)/(2)=(9)/(2)•3ⁿ=(27)/(2)•3n-1，（9分）
S1+(9)/(2)=(9)/(2)•3=(27)/(2)，(Sn+1+(9)/(2))/(Sn+(9)/(2))=((27)/(2)•3n)/((27)/(2)•3n-1)=3．（10分）
故，数列{Sn+(9)/(2)}是以(27)/(2)为首项，公比为3的等比数列．（12分）