数学甲乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年总销售额为a/2(n^2-n+2)万元，乙超市第n年的销售金额比前一年多[(2/3)^(n-1)]a万元，（1）设甲乙两

Question

数学 甲乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为a万元，由于经营方式不同，
甲超市前n年总销售额为a/2(n^2-n+2)万元，乙超市第n年的销售金额比前一年多[(2/3)^(n-1)]a万元，
（1）设甲乙两超市第n年的销售金额分别为an,bn,求an,bn表达式。
（2）若其中某一超市的年销售金额不足另一超市的年销售金额的50%，则该超市将会被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？

Answer 1

（1）假设甲超市前n年总销售额为Sn ，则Sn=a(n^2-n+2)/2 (n>=2)
因 n=1时，a1=a，则n>=2 时 ，
an=Sn-S(n-1)=a(n^2-n+2)/2-a[(n-1)^2-(n-1)+2]/2=a(n-1)
故an=a,n=1时，an=a(n-1),n>=2时
又因b1=a, n>=2时bn-b(n-1)=(2/3)^(n-1)*a
故bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+....+[bn-b(n-1)]
=a+2a/3+(2/3)^2a+(2/3)^3a+...(2/3)^(n-1)a
=(1+2/3+4/9+......)a
=[1-(2/3)^n]a/(1-2/3)
=[3-2*(2/3)^(n-1)]a
显然n=1也适合，故 bn=[3-2*(2/3)^(n-1)]a
（2）当n=2 时，a2=a，b2=3a/5,有a2>b2/2
n=3 时，a3=2a,b3=19a/9 有a3>b3/2 ；
当n>=4时，an>=3a，而bn=4 时，令an/2>bn，
则(n-1)a/2>[3-2*(2/3)^(n-1)]a .
得到n-1>6-4(2/3)^(n-1)
即n>7-4(2/3)^(n-1). 又当n>=7时，07-4(2/3)^(n-1).
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购.