已知等差数列{an}，公差d不为零，a1=1，且a2，a5，a14成等比数列；（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足bn＝an•3n−1，求数列{bn}的前n项和Sn．

Question

已知等差数列{a_n}，公差d不为零，a₁=1，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足bn＝an•3n−1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）由a₂，a₅，a₁₄成等比数列，
∴(a5)2＝a2a14，
即（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得，d=2或d=0（舍），
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）由（1）可得：bn＝(2n−1)•3n−1，
∴Sn＝1×1+3×31+5×32+…+（2n-1）•3^n-1，
3Sn＝3+3×32+5×33+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ，
∴两式相减得：
-2Sn＝1+2×(3+32+…+3n−1)−(2n−1)•3ⁿ=1+2×(3(3n−1−1))/(3−1)−(2n−1)•3n=1+3ⁿ-3-（2n-1）•3ⁿ
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1．