已知数列{an}满足a1=-1，an+1-2an-3=0；数列{bn}满足bn=log2（an+3）；（Ⅰ）求证：数列{an+3}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式，并求数列{an}的前n项和Sn（Ⅲ）求数列{bn}的前n项和Tn，并判断T

Question

已知数列{a_n}满足a₁=-1，a_n+1-2a_n-3=0；数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+3）；
（Ⅰ）求证：数列{a_n+3}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式，并求数列{a_n}的前n项和S_n
（Ⅲ）求数列{b_n}的前n项和T_n，并判断T_n与n³的大小（n∈N^*）．

Answer 1

（I）由an+1-2an-3=0，变形为an+1+3=2（an+3），∴数列{an+3}是以a1+3=2为首项，2为公比的等比数列；（II）由（I）可得：an+3＝2×2n−1，∴an＝2n−3．∴Sn＝(2+22+…+2n)−3n=2(2n−1)2−1−3n=2n+1-2-3n．（III）...