已知数列{an}的各项均为正数,前n项的和Sn=(an+1)^2/4(1)求{an}的通项公式.（答案是an=2n-1）(2)设等比数列{bn}的首项为b,公比为2,前n项的和为Tn.若对任意n∈N*,Sn≤Tn均成立,求证：b≥4/3.第一问可以无

Question

已知数列{an}的各项均为正数,前n项的和Sn=(an+1)^2/4
(1)求{an}的通项公式.（答案是an=2n-1）
(2)设等比数列{bn}的首项为b,公比为2,前n项的和为Tn.若对任意n∈N*,Sn≤Tn均成立,求证：b≥4/3.
第一问可以无视,

Answer 1

证明：
由（1）得
an=2n-1
从而
Sn=[1+(2n-1)]n/2=n²
Tn=b*(2ⁿ-1)
若对任意n∈N*,Sn≤Tn均成立
即n²≤bb*(2ⁿ-1)
1/b≤(2ⁿ-1)/ n²对任意n∈N*均成立
令Cn= (2ⁿ-1)/ n²
因为C(n＋1)-Cn
＝(2^-1)/ (n+1)²- (2ⁿ-1)/ n²
=[ n²*(2^-1)- (n+1)²*(2ⁿ-1)]/[ n²*(n+1)²]
=[( n²-2n-1)*2ⁿ+2n+1] /[ n(n+1)]²
分母恒为正数
当n=1时 ,( n²-2n-1)*2ⁿ+2n+1=-10
所以C(n＋1)-Cn>0
即Cn< C(n＋1)
当n=2时,Cn取得最大值C2=(2²-1)/2²=3/4
所以
1/b≤3/4
即b≥4/3