对于数列{an}，若an+2-an=d（d是与n无关的常数，n∈N*），则称数列{an}叫做“弱等差数列”，已知数列{an}满足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b对于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常数）．（1）求证：

Question

对于数列{a_n}，若a_n+2-a_n=d（d是与n无关的常数，n∈N^*），则称数列{a_n}叫做“弱等差数列”，已知数列{a_n}满足：a₁=t，a₂=s且a_n+a_n+1=an+b对于n∈N^*恒成立，（其中t，s，a，b都是常数）．
（1）求证：数列{a_n}是“弱等差数列”，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）当t=1，s=3时，若数列{a_n}是等差数列，求出a、b的值，并求出{a_n}的前n项和S_n；
（3）若s>t，且数列{a_n}是单调递增数列，求a的取值范围．

Answer 1

证明：（1）∵数列{a_n}满足：a₁=t，a₂=s且a_n+a_n+1=an+b对于n∈N^*恒成立，
∴a_n+1=an+b-a_n，
a_n+2=a（n+1）+b-a_n+1=（an+a+b）-（an+b）+a_n=a+a_n，
∴a_n+2-a_n=a，
∴数列{a_n}是“弱等差数列”．
∵a₁=t，a₂=s，a_n+2-a_n=a，
∴{a_n}中奇数项是以t为首项，以a为公差的等差数列，偶数列是以s为首项，以a为公差的等差数列，
∴a_n=

t+(n-1)/(2)a，n为奇数

s+((n)/(2)-1)a，n为偶数

．
（2）∵当t=1，s=3时，数列{a_n}是等差数列，
∴a₁=1，a₂=3，3+a₃=2a+b，
∴a₃=2a+b-3，2a+b-3+a₄=3a+b，∴a₄=a+3，
∴

a3-a2=2a+b-3-3=2

a4-a3=a+3-2a-b+3=2

，解得a=4，b=0，
∴数列{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列，
∴S_n=2n+(n(n-1))/(2)×2=n²+n．
（3）∵s>t，且数列{a_n}是单调递增数列，
∴a_2k+1-a_2k=（t+ka）-[s+（k-1）a]=t-s+a>0，
∴a>s-t．
∴a的取值范围是（s-t，+∞）．